Laplace分布

Laplace分布（精选3篇）<h3>Laplace分布第1篇</h3>Expected Shortfall即ES表示的是期望损失, 也就是在一定的置信水平下, 某个资产组合的损失超过V a R的尾部时间的期望损失值。与V a R相比, ES是一种更为保守的风险测度, 其值一般会大于V a R。Expected Shortfall的数学定义如下:设X为定义在概率空间 (Ω, ∑, p) 上且表示某种资产或者某个投资组合收益分布的随机变量, 用E (X) 表示概率p的数学期望, 则当时a∈ (0, 1) , X在置信水平为1-a时的期望损失为: 其中, 是X的低分位数。在实际计算中, ES有如下的定义: ES还可以表示成与V a R相关的形式: 即ES值实际上实在VaR的基础上加上损失高于VaR时的期望损失。由于期货基差具有“尖峰厚尾”的特征, 我们选取非对称Laplace分布进行ES的计算。非对称Laplace分布的定义:若X是一个连续的随机变量, 若x的密度函数为: 对于式3.11, 若观测值为R1, R2, Rn, 那么极大似然函数为: 取对数, 得: 由于μ很小, 令其为0, 并且ln L关于σ和m可微分, 分别对σ和m求偏导, 有: 因此, 由式3.12可得V a R和ES的估计公式VaRa, t, ESa, t表示为: 根据V a R和ES计算公式 (3.14) 、 (3.15) , 其中μt、mt、kt、都可用极大似然法估计得出, 描述波动性的ht未知。金融时间序列往往具有波动聚集性与持续性, 并且存在明显的异方差性。G A R C H模型既能够很好的描述这种波动聚集性与持续性, 也可以很好地体现现有信息, 还能够解决异方差性问题。因此对于ht, 我们利用G A R C H模型对其进行拟合。有效性检验:对于V a R模型的有效性, 我们采用K upiec在1995年提出的似然比检验方法: 其中:p1表示失败的期望概率, 即95%置信度下p1=0.05, 99%置信度下p1=0.01;N表示实际损失超过V a R计算值的次数;T表示实际考察次数;p表示实际失败频率, 即p=N/T。在原假设下, 也即p=p1条件下, 统计量LR服从χ2 (1) 分布。在95%置信度下, χ2 (1) 分布的临界值为3.841;在99%置信度下, χ2 (1) 分布的临界值为6.635。对于V a R模型而言, 如果算出来的LR值小于临界值, 则接受原假设, 认为模型的准确率很高, 反之则拒绝原假设, 认为模型的准确率较低。由于计算中ES的值始终大于V a R值, 如果使用似然比检验方法得到的LR值必定会小于V a R模型的LR值, 实际上ES表示的是在实际损失超过V a R的条件下损失的期望值, 因此用似然比检验方法检验ES模型效果会不太明显。ES表示的是在实际损失超过V a R的条件下损失的期望值, 因此对于基于非对称Laplace分布的ES模型而言, 它的准确性应当为:实际损失超过V a R的条件下, 实际损失与ES值的差别大小。对于实际损失超过V a R的条件下, 实际损失与ES值差别大小的计算, 周小敏 (2007) 定义一个统计量LE, 它表示的是实际损失超过V a R的条件下, 实际损失与ES值之差的绝对值: 式中, R't表示实际损失超过V a R的条件下的实际损失, n表示实际损失超过V a R的次数, 表示实际损失超过V a R的条件下的实际损失的平均值, 表示实际损失超过V a R条件下的期望损失平均值。LE值越小, 说明实际损失与ES值越接近, ES的预测效果越好, ES模型的有效性越高。二、实证研究及结论数据来源:由于期货合约存在不连续性的问题, 当一个期货合约到期时, 该期货合约的基差数据也就中断了。为了使基差数据序列能够具有连续性, 本文选择距离当月最近的期货合约, 例如在选择2015年三月份的数据时, 挑选合约IF1504的基差数据来构建连续基差数据序列。本文数据的选取区间为2014年1月2日到2015年6月30日, 扣除节假日后共有352个数据。根据沪深300股指期货基差序列的正态性检验, 得出基差描述性统计量:观测值个数351, 样本均值-11.63383, 中位数1.906000, 最大值534.2900, 最小值-716.2430, 标准差100.1447, 偏度-2.301578, 峰度19.89344, JB值4483.696, 接受概率0.00000。可以看出基差序列波动幅度很大, 基差风险很大。偏度为-2.301678<0, 说明基差序列的分布与正态分布相比负偏或左偏, 呈现出厚尾的特征。峰度为19.89344>3, 说明基差序列的分布与正态分布相比较为陡峭, 呈现出尖顶峰特征, 异于正态分布。JB检验值为4483.696, 明显大于任意水平的x2 (2) 临界值5.99147, 所以拒绝正态分布的零假设, 即基差分布不是正态分布。沪深300股指期货基差的分布特征符合尖峰厚尾的特征, 因此可以用非对称的Laplace分布来研究。对序列进行单位根检验:A D F值为-3.900055, 1%临界值为-2.571586, 5%临界值为-1.941732, 10%临界值为-1.616093。基差序列的A D F值小于在1%、5%、10%显著水平下的A D F临界值, 因此我们拒绝原假设, 即认为基差序列不存在单位根, 基差序列是平稳的, 可以直接对基差序列建模。对基差序列的相关性进行检验, 用Eview s对基差序列进行相关性检验, 结果表明基差序列存在三阶自相关。金融时间序列除了需要检验是否平稳, 还需要检验条件异方差效应。首先根据三阶自相关建立均值方程:对基差序列的A R C H效应检验基差序列的均值方程估计结果如表: 注:“**”表示在5%的水平下显著由结果显示, P值均接近于0, 且小于0.05, 表示在0.05的显著水平下, 回归结果显著。拟合优度为0.720825, 均值方程基本可以拟合沪深300股指期货基差序列。为了进一步验证其具有A R C H效应, 对残差序列进行A R C H-LM检验。设定原假设为:残差不存在A R C H效应。我们取q=1、q=2、q=3及q=4, 分别进行检验, 结果表明沪深300股指期货基差序列存在A R C H效应。对沪深300股指期货基差序列的残差进行G A R C H (1, 1) 建模, 根据相关性检验的结果沪深300股指期货基差序列存在三阶滞后自相关, 于是建立滞后三阶的均值方程。条件均值方程和条件方差方程的结果如表: 从上表可以看出, 所以的系数都通过了显著性检验, 条件方差方程各个系数均大于0且A R C H (-1) 的系数与G A R C H (-1) 的系数之和为0.534855小于1, 满足G A R C H (1, 1) 模型的参数约束条件。根据表4-12中G A R C H (1, 1) 模型的参数估计结果可以出沪深300股指期货基差序列的均值方程以及条件方差方程:均值方程: 由G A R C H模型估计结果得出ht序列图将μt、mt、kt和ht代入公式 (1.7) 与公式 (1.8) , 分别取95%和99%的置信水平, 得出V a R序列和ES序列。从V a R序列和ES序列变化表中可以发现:同样的置信度下ES值都大于V a R值, 这说明ES比V a R估计的更为保守, 这也符合ES和V a R的定义, 同时ES对置信度的敏感程度相对于V a R要低;99%置信度下的ES值和V a R值都大于95%置信度下的相应值, 这说明置信水平的大小直接表明造成损失的概率, 置信度越高, 说明投资者越厌恶风险, 相应的损失概率就越小, 这时就需要更多的风险资本来弥补可能造成的损失, 所以估计出的ES值就越大。从图中可以发现V a R和ES序列在2014年12月之前一直比较稳定, 从2014年12月开始出现小幅波动, 从2015年4月开始出现剧烈波动并且波动幅度越来越大。V a R和ES值作为损失的估计量, 它们的强烈波动说明了沪深300股指期货基差序列发生了强烈波动。通过两个不同月份真实基差波动情况的比较我们发现, 2015年3月底到2015年6月沪深300股指期货确实发生了剧烈波动, 这与我国今年年中出现的股市大动荡以及我们的预测结果都相吻合。从V a R值、ES值与真实基差波动的比较情况可以初步得出结论:基于非对称Laplace分布的ES模型可以较好的描述沪深300股指期货的基差风险。为了更好的判断模型的有效性, 我们对基于非对称Laplace分布的ES模型做进一步的检验。检验:从2014年3月17日开始到2015年6月30日, 共有304个数据接受检验。在95%置信度下, 实际损失值 (当天基差-后一天基差) 超过V a R的次数为18次, 根据公式 (3.15) 计算得出LR=0.513983;在99%置信度下, 实际损失值 (当天基差-后一天基差) 超过V a R的次数为4次, 计算得出LR=0.27856。在95%置信度下, χ2 (1) 分布的临界值为3.841;在99%置信度下, χ2 (1) 分布的临界值为6.635。在95%和99%置信度下, LR值都小于χ2 (1) 分布的临界值, 因此模型效果明显。根据公式 (3.16) , 95%置信度下, LE=0.700368;在99%置信度下, LE=23.25884。对于95%置信度下的LE, 显然ES模型效果明显;对于99%置信度下的LE, 考虑到实际损失的均值较大 (均值为142.8145) , LE值与之比较而言属于较小数值, 因此认为ES模型效果也比较明显。从检验结果可以进一步说明:基于非对称Laplace分布的ES模型可以很好的度量沪深300股指期货的基差风险。三、相关建议ES模型在我国基差风险管理中的应用:第一, ES模型能够帮助投资者制定合适的股指期货投资策略, 不论是套期保值者还是套利者, 他们所面临的风险并不是来自股指期货价格的波动。基差波动所带来的风险。如果基差不变, 则投资者面临的风险为零, 然而当基差波动较大时, 投资者就会面对较大的风险。因此投资者可以利用ES模型来度量基差波动进而有效的规避风险。当ES计算值明显偏离实际值出现强烈的波动时, 投资者应当及时的发现风险调整投资策略, 以最大限度地规避风险。投资者还可以利用ES模型对基差风险进行度量, 制定相应的投资策略。每个投资者都有一定的风险承受能力, 也有着不同的风险偏好, 将自身的风险偏好于风险承受能力与相应的ES值进行比较, 进而确定是否进行该股指期货的投资。同时, ES值的计算可以帮助投资者进行决策, 何时能够进入股指期货市场, 何时应该退出股指期货市场以减小风险暴露。总而言之, ES模型能够让投资者充分了解自身所面临的风险, 在一定条件下所面对的最大期望损失, 从而帮助投资者做出理性的投资决策。第二, ES模型能够有助于监管部门对市场进行有效的监管, ES模型除了能够帮助投资者进行投资决策, 还可以帮助监管部分实现对股指期货的金融监管。影响股指期货基差的因素很多, 除了市场因素以外还有一些故意扰乱市场的行为。股指期货的风险高度集中, 其高杠杆操作的存在导致其对整个金融市场的稳定性都有很大的影响。由于我国股指期货是新生事物, 政府及相关监管部门在金融监管上手段较为单一, 监管制度也不够完善。中国金融市场急需一项能够有效监管股指期货风险的手段, 而ES方法可以提供这样一种监管手段。由于影响基差波动的因素有很多, 相互之间还存在联系, 因此很难准确的判断它们具体的影响程度。ES方法不需要测定各种因素对基差风险的影响程度, 它能够利用统计计量方法从前期的基差波动数据中得到基差波动的概率值。当ES值出现异常波动时, 监管部门能够及时的发现股指期货市场存在的异常, 进而分析异常波动的原因并及时采取措施稳定市场。ES方法将难以度量的诸多基差风险因素转换为具体的数值, 使监管者能够直观的发现风险, 便于基差风险管理, 提高了监管水平。摘要：股指期货具有价格发现, 规避风险以及提高资金配置效率等功能。我国于2010年4月16日正式推出沪深300股指期货, 这是我国资本市场发展的一大里程碑。股指期货的跨期性、杠杆性、联动性和多样性等特点很好地弥补金融市场的缺陷, 不仅可以健全股票市场的价格机制还可以大大降低交易成本, 并且为广大参与者提供了一个可以避险的投资工具。沪深300股指期货的推出彻底改变了我国金融市场风险管理工具缺乏的现状, 但同时也面临股指期货高杠杆交易巨大风险的挑战。本文将运用ES模型度量股指期货的基差风险, 最后实证研究预测沪深300股指期货的基差风险。本文将在国内外相关理论的研究基础上, 运用非对称Laplace分布来拟合沪深300股指期货的基差;建立非对称Laplace分布下的Expected Shortfall模型来分析沪深300股指期货的波动情况;计算出该模型下的ES值和Va R值;分别将模型得出的Va R和ES值与实际的基差波动进行比较, 考察ES和Va R对实际基差波动的拟合情况;对ES和Va R分别进行有效性检验;最后对我国目前使用Expected Shortfall模型还存在的问题进行简要的阐述, 给出我国沪深300股指期货管理的相关经验。<h3>Laplace分布第2篇</h3>1 Laplace边缘检测算法边缘特征是一副图像最基本的特征,边缘点就是指图像灰度或者亮度发生空间突变或者在梯度方向上发生突变的像素点的集合,其周围像素点灰度通常有阶跃状变化或者屋顶状变化,因此,可分为阶跃状边缘和屋脊状边缘两类,其中,阶跃状边缘两边灰度值有明显的变化,而屋脊状边缘则在灰度值由小到大再由大到小的变化交界处[1]。在数学上,通常利用图像灰度变化曲线的一阶和二阶导数来描述图像的边缘特征,如图1所示,图中fss(x)为阶跃状边缘的灰度变化曲线,fT(x)为屋脊状边缘的灰度变化曲线,点p、q分别为边缘点,从图中可以看出:fs(x)的一阶导数f's(x)在边缘处为极值状态,二阶导数f"s(x)为零交叉状态;fT(x)的一阶导数f'T(x)在边缘处为零交叉状态,二阶导数f"T(x)为极值状态。根据数量场的梯度定义,对于一副图像的灰度函数f(x,y),其一阶梯度和梯度模长分别为 二阶梯度和梯度模长分别为 用差分运算代替微分运算得 用计算机计算图像梯度时,为减少计算机的运算量,提高图像处理的速度,通常用绝对值运算代替,所以,|▽f(x,y)|和|▽2f(x,y)|的近似表达式为 从上面的公式中可以知道,某像素点梯度的近似值与其周围像素点的灰度差成正比,在一副图像中,图像边缘区域梯度值较大,平滑区域梯度值较小,灰度级为常数的区域,梯度值为0[2],因此,可以通过计算图像像素点梯度值的大小,来对各个像素点进行检测,从而找出边缘点。Marr和Hildreth提出的Laplace边缘检测算法被誉为最佳边缘检测器之一,其实质就是利用图像灰度变化的二阶梯度来描述两种不同类型的边缘,通过对图像各像素点求二阶梯度之和的方法来确定边缘点[3]。在3×3的参考邻域中,图像第i个像素点的梯度强度表达式如下 Laplace算法3×3的参考邻域如表1所示。 2 系统设计2.1 总体结构本文基于System Generator软件,将并行算法与Laplace图像边缘检测算法相结合,充分利用FPGA器件的并行流水特性进行系统设计,并最终在Xiliinx公司生产的xc7z020-1clg484型芯片上实现,在设计的过程中,系统采用模块化的设计方法,将总体结构分为缓存器模块、边缘检测模块和图像二值化模块3个模块,然后分别对各个模块进行设计,具有良好的移植性和扩展性,系统总体结构如图2所示。2.2 缓存器模块图像的二维滤波操作就是一个二维的卷积过程,以La—place算法3×3的卷积模板来说,当前的输出结果和上、下、左、右以及当前的像素点值有关,在进行计算输出时,至少需要用到这5个数据,而这5个数据在图像的二维数据矩阵中是处于不同行和列的,本文采用Xilinx公司的Delay延迟模块来搭建一个缓存器模块[4],从而实现将一维的输入数据流变成同时输出的5个数据。整个缓存器模块包括行缓存模块和列缓存模块,一维的输入数据流首先通过行缓存模块缓存后,并行输出3行图像数据,再通过列缓存模块,最后形成3×3的窗口数据,以尺寸300×246的图像为例,行缓存模块如图3所示,列缓存模块如图4所示。图3中,信号线下方标记的含义如下所示 2.3 边缘检测模块边缘检测模块就是将并行输入的3×3窗口数据,按照Laplace算法表达式进行计算,从而找到边缘点。本文主要使用了Xilinx公司的Delay延迟模块、AddSub加法模块、ｃｏｎｃａｔ位移模块,整个模块在实现寻找图像边缘点的任务时,使用流水线结构,分为3个小任务,先对上、下、左、右四方像素点数据进行求和运算,然后对当前像素点数据进行乘法运算,最后求差做出判断。各个任务在执行时,又使用并行结构,对输入的数据同时计算。结构中乘法运算通过位移操作来实现,可以提高系统的处理速度,结构如图5所示。2.4 图像二值化模块图像数据经过边缘检测模块后,已经判断出哪些像素点是边缘点,哪些是非边缘点,图像二值化模块就是采用图像二值化的思路,对边缘点赋予一个像素值,对非边缘点赋予另外一个像素值,从而使得图像边缘清晰地显现出来,本文采用Xilinx公司的Mux多路选择模块和Constant常数模块来实现[5],如图6所示。经过图像二值化模块后,新图像对应的像素值可表示为 3 仿真与实现结果本设计以Xilinx公司的System Generator软件为基础,充分利用其硬件模块,对整个系统设计进行硬件仿真[6],如图7所示,其中Subsystem里面封装的是缓存器模块,Subsystem4里面封装的是边缘检测模块和图像二值化模块,Gateway In为数据读入模块,Gateway Out为数据输出模块,硬件仿真结果如图8所示,从图中可以看出该设计很好地完成了图像边缘特征的提取功能,与常见单阶sobel边缘检测算法相比,本设计所用二阶Laplace边缘检测算法对图像细节更为敏感,边缘定位精度更高。本设计最终选择在Xilinx公司的ZYNQ-7000系列芯片中的xc7z020-1clg484型FPGA上实现,由于器件规模的急剧增大,ISE软件的综合、布局布线等算法已经比较吃力,而Vivado软件使用了全新的布局布线算法,在它上面进行新器件的设计开发,会大大提高开发效率,同时Vivado仿真器采用全新的引擎,集成于Vivado IDE中,该引擎的速度比ISim快3倍以上,而占用的存储器容量却仅为一半[7],因此,将整个模型转换为Verilog HDL语言后,直接选用Vivado软件对整个工程文件进行综合、转换、映射、布局布线,然后进行仿真,仿真结果如图9所示图中竖线处时间为1.500 ns,开始传入图像数据,200ns左右,开始输出有效数据,产生输出延时的原因主要是是FIFO填充需要时间以及FPGA的处理周期延时,图中00110001的输出段,即为边缘区域,00000000的输出段,即为非边缘区域。图10为资源利用率报告,可以看出该系统不论是逻辑门资源还是I/O口资源都只使用了FPGA芯片极小的部分,剩余资源可以用来实现更复杂的功能。以一张300×246的73.8 kbyte图像为例,假定使用100 MHz(实验时使用值)作为驱动源,整张图像处理完成所需时间为0.738 228 ms,每秒可处理图像1 250张以上,达到了系统实时处理的要求。4 小结本文基于System Generator和Vivado软件,充分利用FP-GA的并行流水特性,使用极少的FPGA板卡资源,完成了图像边缘检测Laplace算法在FPGA上的仿真与实现,极大地提高了图像边缘检测的计算效率,满足实时处理的系统要求。并且在系统构建时,采用模块化的设计方法,不仅大大降低了系统的设计难度,同时也使得各功能模块具有良好的移植性和扩展性。摘要：针对目前数字图像处理速度普遍不足的问题,基于System Generator软件,在Xilinx的xc7z020-lclg484型FPGA上设计了一种以Laplace图像边缘检测算法为核心的图像边缘检测系统。系统采用模块化的设计方法构造了缓存器模块、边缘检测模块和图像二值化模块,并使用Vivado软件成功进行了仿真与实现。实验结果表明,该设计的处理速度快、效果好。关键词：System Generator,Vivado,图像边缘检测,Laplace,FPGA参考文献[1]张铮.数字图像处理与机器视觉——Visualc++与Matlab实现[M].北京:人民邮电出版社.2014.[2]阮秋琦.数字图像处理基础[M].北京:清华大学出版社,2013.[3]冈萨雷斯.数字图像处理[M].阮秋琦,译.北京:电子工业出版社,2003.[4]XILINX.System Generator for DSP Getting Started Guide[EB/OL].[2014-10-20].http://www.docin.com/p-520879564.html.[5]陆佳华,江舟,马岷.嵌入式系统软硬件协同设计实战指南:基于Xilinx Zynq[M].北京:机械工业出版社,2013.[6]何宗苗.基于Zynq-7000的高速实时自适应均衡器设计[J].电视技术,2014,38(15):94-97.<h3>Laplace分布第3篇</h3> 本文考虑如下p-Laplace特征值Dirichlet问题 <mathml id="3"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>-</mo><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><msup><mo stretchy="false">) </mo><mo>′</mo></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">|</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mi>λ</mi><mi>f</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>&sbquo;</mo><mn>0</mn><mi>＜</mi><mi>t</mi><mi>＜</mi><mn>1</mn><mo>&sbquo;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow><mrow><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext></mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>1</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">) </mo></mrow></math></mathml> 至少3个弱解的存在性, 其中p>1, f∈C (ℝ, ℝ) , λ是正常数. 近年来, 当|u|p-2u&equiv;0时, 关于p-Laplace方程非线性特征值Dirichlet问题正解的存在性与多重性已取得了大量的研究成果, 见文[1,2,3,4]及相关文献.其中用到的方法主要有锥上的不动点定理[1], 不动点指数理论[2], 变分方法[3,4]等;当p=2时, 文[5]利用变分方法研究了二阶非线性微分方程的Dirichlet问题解的存在性问题;文[6,7,8]分别利用B.Ricceri的一些三临界点定理和变分方法研究了特征值Dirichlet问题 <mathml id="6"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>-</mo><msup><mi>u</mi><mo>″</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mi>λ</mi><mi>f</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>&sbquo;</mo><mn>0</mn><mi>＜</mi><mi>t</mi><mi>＜</mi><mn>1</mn><mo>&sbquo;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mn>0</mn><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mrow></math></mathml> 至少3个弱解存在的充分条件. 当|u|p-2u≠0时, 含有p-Laplace算子的特征值Dirichlet问题的文献很少见到.受[5,6,7,8]的启发, 本文的主要目的是在非线性项自治的情况下, 利用变分方法和B.Ricceri的一个新的三临界点定理, 研究问题 ( 1.1) 至少3个弱解的存在性. 本文以下总假定f∶ℝ→ℝ是连续函数.F (ξ) =∫<mathml id="10"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mi>ξ</mi></msubsup></mrow></math></mathml>f (s) ds, ∀ξ∈ℝ. 2 预备知识 为了证明本文的主要结果, 先给出以下定义和引理. 定义2.1 称u (t) 为问题 (1.1) 的弱解, 如果u (t) ∈W<mathml id="14"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>, </mo><mtext>p</mtext></mrow></msubsup></mrow></math></mathml> ([0, 1]) , 且使得 <mathml id="15"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mo stretchy="false">|</mo></mrow></mstyle><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><msup><mi>v</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mo stretchy="false">|</mo></mrow></mstyle><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mi>v</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>λ</mi><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>f</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mi>v</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mrow></math></mathml> 对每一个v (t) ∈W<mathml id="17"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>, </mo><mtext>p</mtext></mrow></msubsup></mrow></math></mathml>[0, 1]成立, 其中Sobolev空间W<mathml id="18"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>&sbquo;</mo><mtext>p</mtext></mrow></msubsup></mrow></math></mathml>[0, 1]是C∞0 ([0, 1]) 在W1, p[0, 1]中的闭包. 在W<mathml id="20"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>&sbquo;</mo><mtext>p</mtext></mrow></msubsup></mrow></math></mathml>[0, 1]上定义两个等价范数: <mathml id="21"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mo stretchy="false">|</mo></mrow></mstyle><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>p</mi></mrow></msup><mo>&sbquo;</mo><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mo stretchy="false">|</mo></mrow></mstyle><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">|</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>p</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 于是存在两个正常数c1, c2使得 <mathml id="23"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo>≤</mo><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub><mo>≤</mo><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo>.</mo><mrow><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext></mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">) </mo></mrow></math></mathml> 由于p>1, 嵌入映射W<mathml id="25"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>, </mo><mtext>p</mtext></mrow></msubsup></mrow></math></mathml>[0, 1]→C0 ([0, 1]) 是紧的, 且 <mathml id="26"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>max</mi></mrow></mstyle><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>t</mi><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mo stretchy="false">|</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo>&sbquo;</mo><mo>∀</mo><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>W</mi><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>&sbquo;</mo><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo>&sbquo;</mo><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mn>1</mn><mo stretchy="false">]</mo><mo>.</mo><mrow><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext></mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>2</mn><mo stretchy="false">) </mo></mrow></math></mathml> 引理2.1 [8, Theorem 2.3]设X是可分的自反实Banach空间, Φ:X→ℝ是序列弱下半连续泛函J:X→ℝ是序列弱上半连续泛函, 且<mathml id="28"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>l</mi><mi>i</mi><mi>m</mi></mrow></mstyle><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mtext>x</mtext><mo stretchy="false">∥</mo><mo>→</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mo>-</mo><mtext>λ</mtext><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi></mrow></math></mathml>.那么下面的陈述是相互等价的: (a) 存在ρ∈ℝ, x0, x1∈X使得: (ⅰ) J (x0) <ρ<J (x1) ;<mathml id="31"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>ⅱ</mn><mo stretchy="false">) </mo><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>f</mi></mrow></mstyle><mrow><mtext>x</mtext><mo>∈</mo><mtext>J</mtext><msup><mrow></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false">[</mo><mtext>ρ</mtext><mo>&sbquo;</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow></munder><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mi>＞</mi><mfrac><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo>-</mo><mtext>ρ</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>ρ</mtext><mo>-</mo><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow><mrow><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo>-</mo><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></mathml> (b) 存在γ∈ℝ, x0, x1∈X使得: (ⅰ) Φ (x0) <γ<Φ (x1) ;<mathml id="34"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>ⅱ</mn><mo stretchy="false">) </mo><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>p</mi></mrow></mstyle><mrow><mtext>x</mtext><mo>∈</mo><mtext>Φ</mtext><msup><mrow></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false">[</mo><mtext>ρ</mtext><mo>&sbquo;</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow></munder><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mfrac><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><mtext>γ</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>γ</mtext><mo>-</mo><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow><mrow><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo>-</mo><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>0</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></mathml> (c) 存在ρ∈ℝ, 使得: <mathml id="36"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>sup</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>inf</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>λ</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mi>J</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>inf</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>sup</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi><mo>&sbquo;</mo><mi>λ</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>ρ</mi><mo>-</mo><mi>J</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 特别地, 当J (x0) =Φ (x0) =0时, 引理2.1中的 (a) 存在ρ∈ℝ, x0, x1∈X使得: (ⅰ) 0<ρ<J (x1) ;<mathml id="40"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>ⅱ</mn><mo stretchy="false">) </mo><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>f</mi></mrow></mstyle><mrow><mtext>x</mtext><mo>∈</mo><mtext>J</mtext><msup><mrow></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false">[</mo><mtext>ρ</mtext><mo>&sbquo;</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow></munder><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mi>＞</mi><mfrac><mrow><mtext>ρ</mtext><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow><mrow><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></mathml> (b) 存在γ∈ℝ, x0, x1∈X使得: (ⅰ) 0<γ<Φ (x1) ;<mathml id="43"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>ⅱ</mn><mo stretchy="false">) </mo><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>p</mi></mrow></mstyle><mrow><mtext>x</mtext><mo>∈</mo><mtext>Φ</mtext><msup><mrow></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false">[</mo><mtext>ρ</mtext><mo>&sbquo;</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow></munder><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mfrac><mrow><mtext>γ</mtext><mtext>J</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow><mrow><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>x</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 下面的定理在主要结果的证明中是必需的. 定理2.1 [9, Theorem l]设X是可分的自反实Banach空间, Φ:X→ℝ是连续Gâteaux可微且序列弱下半连续泛函, 其Gâteaux导算子在X* (X的对偶空间) 上有连续可逆算子;Ψ:X→ℝ是连续Gâteaux可微泛函且其Gâteaux导算子是紧的.假定 <mathml id="46"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>lim</mi></mrow></mstyle><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">∥</mo><mo>→</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>-</mo><mi>λ</mi><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo>&sbquo;</mo><mo>∀</mo><mi>λ</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>&sbquo;</mo></mrow></math></mathml> 并且存在连续凹泛函h:[0, +∞) →ℝ, 使得 <mathml id="48"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>sup</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>inf</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>λ</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>h</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>λ</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>inf</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>sup</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi><mo>, </mo><mi>λ</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>h</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>λ</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>&sbquo;</mo><mrow><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext></mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>2</mn><mo>.</mo><mn>3</mn><mo stretchy="false">) </mo></mrow></math></mathml> 则存在一个开区间Λ&sube;[0, +∞) 和一个正实数q, 使得对每一个λ∈Λ, 方程Φ′ (x) +λΨ′ (x) =0在X上至少有3个范数小于q的解. 今后我们总设X=W<mathml id="51"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>&sbquo;</mo><mtext>p</mtext></mrow></msubsup></mrow></math></mathml> ([0, 1]) .对于其他相关记号和定义, 参考文献[10]. 3 主要结果及证明 下面的引理在主要结果的证明中是必要的. 引理3.1 假定存在两个正常数c, d且<mathml id="55"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtext>c</mtext><mi>＜</mi><mn>2</mn><msup><mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mtext>p</mtext><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtext>p</mtext></mfrac></mrow></msup><mtext>d</mtext></mrow></math></mathml>, 满足: <mathml id="56"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>Η</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mtext>&emsp;</mtext><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mo>∀</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo>&sbquo;</mo><mi>t</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mstyle displaystyle="true"><mo>∪</mo><mrow><mrow><mo>[</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mn>1</mn></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></mstyle><mo>&sbquo;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>Η</mtext><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mtext>&emsp;</mtext><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mi>c</mi></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>max</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>u</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo>-</mo><mi>c</mi><mo>&sbquo;</mo><mi>c</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></munder><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mi>d</mi></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></math></mathml> 则存在r>0和u*∈X使得 <mathml id="58"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup><mi>＞</mi><mi>p</mi><mi>r</mi><mo>&sbquo;</mo><mi>max</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mi>p</mi><mi>r</mi><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mtext>其</mtext><mtext>中</mtext><mi>u</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi></mrow><mi>p</mi></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi></mrow><mi>p</mi></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 证明取 <mathml id="60"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtext>u</mtext><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>t</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mrow><mo>{</mo><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn>4</mn><mtext>d</mtext><mtext>t</mtext><mo>&sbquo;</mo><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext><mtext>t</mtext><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>&sbquo;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mtext>d</mtext><mo>&sbquo;</mo><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext><mtext>&emsp;</mtext><mtext>t</mtext><mo>∈</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>&sbquo;</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>4</mn><mtext>d</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mn>1</mn><mo>-</mo><mtext>t</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mo>&sbquo;</mo><mtext>t</mtext><mo>∈</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mn>1</mn></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow><mtext>r</mtext><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>2</mn><mtext>c</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mtext>c</mtext><mo stretchy="false">) </mo><msup><mrow></mrow><mtext>p</mtext></msup></mrow><mtext>p</mtext></mfrac><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 易见, u* (t) ∈W<mathml id="62"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mrow><mn>1</mn><mo>, </mo><mtext>p</mtext></mrow></msubsup></mrow></math></mathml>[0, 1]且<mathml id="63"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mtext>u</mtext><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>1</mn><mtext>p</mtext></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>4</mn><mtext>d</mtext><mo stretchy="false">) </mo><msup><mrow></mrow><mtext>p</mtext></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac></mrow></math></mathml>.于是, 由<mathml id="64"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtext>c</mtext><mi>＜</mi><mn>2</mn><msup><mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mtext>p</mtext><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtext>p</mtext></mfrac></mrow></msup><mtext>d</mtext></mrow></math></mathml>和 (2.1) 式, 我们有pr< (c1‖u*‖1) p≤ (‖u*‖2) p.由0≤u*≤d, ∀t∈[0, 1]和条件 (H1) 可知<mathml id="65"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>+</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></math></mathml>, 而且, 根据引理中的假设和上面的证明, 我们有 <mathml id="66"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>max</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><msup><mrow></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mrow><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mi>c</mi><mi>d</mi></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow><mrow><mfrac><mn>3</mn><mn>4</mn></mfrac></mrow></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>≤</mo><mo stretchy="false"> (</mo><mn>2</mn><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mi>c</mi><mo stretchy="false">) </mo><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mfrac><mn>2</mn><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>4</mn><mi>d</mi><mo stretchy="false">) </mo><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup></mrow></mfrac><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>r</mi><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><msup><mrow></mrow><mi>p</mi></msup></mrow></mfrac><mo>≤</mo><mi>p</mi><mi>r</mi><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo>&sbquo;</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></math></mathml> 其中<mathml id="68"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtext>u</mtext><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mtext>p</mtext><mtext>r</mtext></mrow><mtext>p</mtext></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mtext>c</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mtext>p</mtext><mtext>r</mtext></mrow><mtext>p</mtext></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mtext>c</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow></mrow></math></mathml>.证毕 下面给出本文的主要结果. 定理3.1 设存在4个正常数c, d, β, s以及<mathml id="71"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtext>c</mtext><mi>＜</mi><mn>2</mn><msup><mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mtext>p</mtext><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtext>p</mtext></mfrac></mrow></msup><mtext>d</mtext><mo>&sbquo;</mo><mtext>s</mtext><mi>＜</mi><mtext>p</mtext></mrow></math></mathml>, 假定条件 (H1) , (H2) 成立, 且对任意的u∈ℝ满足: <mathml id="72"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>Η</mtext><msub><mrow></mrow><mn>3</mn></msub><mo stretchy="false">) </mo><mtext>&emsp;</mtext><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>≤</mo><mi>β</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mo stretchy="false">|</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mi>s</mi></msup><mo stretchy="false">) </mo><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 则存在一个开区间Λ&sube;[0, +∞) 和一个正实数q, 使得对每一个λ∈Λ, 问题 (1.1) 至少有3个弱解且在X上它们的范数均小于q. 证明对任意的u∈X, 我们定义:<mathml id="75"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>p</mi></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup><mo>&sbquo;</mo><mtext>&emsp;</mtext><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mo>-</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 众所周知, Φ是一个连续Gâteaux可微的序列弱下半连续泛函, 在u∈X点它的Gâteaux导数是由下式 <mathml id="77"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msup><mi>Φ</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false"> (</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mo stretchy="false"> (</mo></mrow></mstyle><mo stretchy="false">|</mo><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><msup><mi>u</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><msup><mi>v</mi><mo>′</mo></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">|</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn>2</mn></mrow></msup><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mi>v</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>&sbquo;</mo><mo>∀</mo><mi>v</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></mrow></math></mathml> 确定的泛函, 且Φ′ (u) ∈X*, Φ′:X→X*在X*有连续逆;Ψ是一个连续Gâteaux可微泛函, 在u∈X点它的Gâteaux导数是由Ψ′ (u) (v) =-∫<mathml id="79"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup></mrow></math></mathml>f (u (t) ) v (t) dt, ∀v∈X确定的泛函, 且Ψ′ (u) ∈X*, Ψ′:X→X*是连续且紧的.因此, 问题 (1.1) 的弱解实际上就是方程Φ′ (u) +λΨ′ (u) =0在X上的解, 即Φ+λΨ在X上的临界点. 下面来验证定理2.1的所有条件满足. 首先, 由条件 (H3) 和嵌入不等式 (2.2) , 有 <mathml id="82"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>p</mi></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup><mo>-</mo><mi>λ</mi><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>≥</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>p</mi></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup><mo>-</mo><mi>λ</mi><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>β</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mo stretchy="false">|</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">|</mo><msup><mrow></mrow><mi>s</mi></msup><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>≥</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>p</mi></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup><mo>-</mo><mi>λ</mi><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>β</mi></mrow></mstyle><mrow><mo> (</mo><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mi>s</mi></msup></mrow><mo>) </mo></mrow><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></math></mathml> 由s<p和 (2.1) 式, 有 <mathml id="84"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>lim</mi></mrow></mstyle><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">∥</mo><mo>→</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo>&sbquo;</mo><mo>∀</mo><mi>λ</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mo>+</mo><mi>∞</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 其次, 我们来验证 (2.3) 式成立.由于<mathml id="86"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi></mrow></mstyle><mrow><mn>0</mn><mo>≤</mo><mtext>t</mtext><mo>≤</mo><mn>1</mn></mrow></munder><mo stretchy="false">|</mo><mtext>u</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>t</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">|</mo><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mtext>u</mtext><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub><mo>≤</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mn>2</mn><mtext>c</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">∥</mo><mtext>u</mtext><mo stretchy="false">∥</mo><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub><mo>&sbquo;</mo><mo>∀</mo><mtext>u</mtext><mo>∈</mo><mtext>X</mtext></mrow></math></mathml>, 我们有 <mathml id="87"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>sup</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>u</mi><mo>∈</mo><mi>Φ</mi><msup><mrow></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mi>∞</mi><mo>&sbquo;</mo><mi>r</mi><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mo>=</mo><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>sup</mi></mrow></mstyle><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup><mo>≤</mo><mi>p</mi><mi>r</mi></mrow></munder><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mtext>d</mtext><mi>t</mi><mo>≤</mo><mi>max</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>&sbquo;</mo><mtext>其</mtext><mtext>中</mtext><mi>u</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi></mrow><mi>p</mi></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi></mrow><mi>p</mi></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 而根据引理3.1, 可知存在r>0和u*∈X, 使得 <mathml id="89"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mi>max</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>F</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mi>p</mi><mi>r</mi><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mn>0</mn><mn>1</mn></msubsup><mi>F</mi></mrow></mstyle><mo stretchy="false"> (</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false"> (</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mi>d</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">∥</mo><mi>u</mi><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">∥</mo><msubsup><mrow></mrow><mn>2</mn><mi>p</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mtext>其</mtext><mtext>中</mtext><mi>u</mi><mo>∈</mo><mrow><mo>[</mo><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi></mrow><mi>p</mi></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac><mo>&sbquo;</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mi>p</mi><mi>r</mi></mrow><mi>p</mi></mroot></mrow><mrow><mn>2</mn><mi>c</mi><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 因此, <mathml id="91"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>p</mi></mrow></mstyle><mrow><mtext>u</mtext><mo>∈</mo><mtext>Φ</mtext><msup><mrow></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mi>∞</mi><mo>&sbquo;</mo><mtext>r</mtext><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mtext>Ψ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>u</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mtext>r</mtext><mfrac><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mtext>Ψ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>u</mtext><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow><mrow><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>u</mtext><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow></mfrac></mrow></math></mathml>, 于是, 存在ρ使得<mathml id="92"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>s</mi><mi>u</mi><mi>p</mi></mrow></mstyle><mrow><mtext>u</mtext><mo>∈</mo><mtext>Φ</mtext><msup><mrow></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false"> (</mo><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mi>∞</mi><mo>&sbquo;</mo><mtext>r</mtext><mo stretchy="false">]</mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mtext>Ψ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>u</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mtext>ρ</mtext><mi>＜</mi><mtext>r</mtext><mfrac><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mo>-</mo><mtext>Ψ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>u</mtext><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">) </mo><mo stretchy="false">) </mo></mrow><mrow><mtext>Φ</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>u</mtext><msub><mrow></mrow><mo>*</mo></msub><mo stretchy="false">) </mo></mrow></mfrac></mrow></math></mathml>.并且设h (λ) =λρ, ∀λ≥0, 以及x0=0, x1=u*, J=-Ψ.于是, 由引理2.1, 我们有 <mathml id="93"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>sup</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>inf</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>λ</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>&sbquo;</mo><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>ρ</mi><mi>λ</mi><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><munder><mstyle displaystyle="true" mathsize="140%"><mrow><mi>inf</mi><mspace width="0.25em"></mspace><mi>sup</mi></mrow></mstyle><mrow><mi>x</mi><mo>∈</mo><mi>X</mi><mo>&sbquo;</mo><mi>λ</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn></mrow></munder><mo stretchy="false"> (</mo><mi>Φ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>Ψ</mi><mo stretchy="false"> (</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>+</mo><mi>ρ</mi><mi>λ</mi><mo stretchy="false">) </mo><mo>.</mo></mrow></math></mathml> 因此, 由定理2.1可知:则存在一个开区间Λ&sube;[0, +∞) 和一个正实数q, 使得对每一个λ∈Λ, 问题 (1.1) 至少有三个弱解且在X上他们的范数均小于q.证毕. 定理3.2 设f:ℝ→ℝ是连续函数, 其原函数F (u) =∫<mathml id="96"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msubsup><mrow></mrow><mn>0</mn><mtext>u</mtext></msubsup></mrow></math></mathml>f (ξ) dξ, ∀u∈ℝ, 假定存在4个正常数c, d, μ, s以及<mathml id="97"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mtext>c</mtext><mi>＜</mi><mn>2</mn><msup><mrow></mrow><mrow><mfrac><mrow><mtext>p</mtext><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow><mtext>p</mtext></mfrac></mrow></msup><mtext>d</mtext><mo>&sbquo;</mo><mtext>s</mtext><mi>＜</mi><mtext>p</mtext></mrow></math></mathml>, 满足以下条件: (ⅰ) 对任意的u∈[-c, max{c, d}], f (u) ≥0; <mathml id="100"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mo stretchy="false"> (</mo><mn>ⅱ</mn><mo stretchy="false">) </mo><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>2</mn><mtext>c</mtext></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mtext>p</mtext></msup><mtext>F</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>c</mtext><mo stretchy="false">) </mo><mi>＜</mi><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mrow><mtext>c</mtext><msub><mrow></mrow><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><mtext>c</mtext><msub><mrow></mrow><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mtext>p</mtext></msup><mrow><mo> (</mo><mrow><mfrac><mn>1</mn><mtext>d</mtext></mfrac></mrow><mo>) </mo></mrow><msup><mrow></mrow><mtext>p</mtext></msup><mtext>F</mtext><mo stretchy="false"> (</mo><mtext>d</mtext><mo stretchy="false">) </mo></mrow></math></mathml>; (ⅲ) 对所有的u∈ℝ, 有F (u) ≤μ (1+|u|s) . 则存在一个开区间Λ&sube;[0, +∞) 和一个正实数q, 使得对每一个λ∈Λ, 问题 (1.1) 至少有3个弱解且在X上它们的范数均小于q. 证明与定理3.1类似, 这里省略. 注当p=2时上面的结果也是新的. 摘要：利用变分方法和B.Ricceri三临界点定理, 获得了具有p-Laplace的非线性特征值问题至少存在3个弱解的充分条件.推广了现有文献的结果.关键词：p-Laplacian,B.Ricceri三临界点定理,变分方法,弱解,特征值问题参考文献[1]LHai-shen, Donal O Regan, Ravi P.Agarwal.Positive solution for singularp-Laplace equatios withsign-changing nonlinearities using inequality theory[J].Applied Mathematics and Computation, 2005, 165:587-597.[2]Li Ying-xiang.Positive solution of second-order boundary value problems with sign-changing nonlinearterms[J].J.Math.Anal.Appl., 2003, 282:232-240.[3]熊明, 王绍荣.一维p-Laplacian方程奇异边值问题的正解[J].数学学报, 2006, 49A (1) :161-168.[4]熊明, 刘嘉荃, 曾安平.一维p-Laplacian方程的两点奇异边值问题正解的存在性[J].数学物理学报, 2007, 27A (3) :549-558.[5]陈爱永, 黄文韬.一个二阶非线性微分方程的边值问题[J].长江大学学报A (自然科学版) , 2007, (1) :17-18.[6]Gabriele Bonannao.Existence of three solutions for a two point boundary value problem[J].AppliedMathematics Letters, 2000, 13:53-57.[7]Gabriele Bonannao.Some remarks on a three critical points theorem[J].Nonlinear Analysis, 2003, 54:651-665.[8]Gabriele Bonanna.A mini max inequality and its applications to ordinary differential equations[J].J.Math.Anal.Appl., 2002, 270:210-229.[9]B.Ricceri.On a three critical points theorem[J].Arch.Math. (Basel) , 2000, 75:220-226.

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