幂函数典型例题及答案

幂函数典型例题及答案（精选7篇）

幂函数典型例题及答案 第1篇

函数的极限及函数的连续性典型例题

一、重点难点分析：

①

此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。② 要掌握常见的几种函数式变形求极限。③ 函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。

。④ 计算函数极限的方法，若在x=x0处连续，则

⑤ 若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。

二、典型例题

例1．求下列极限

①

②

③

④

解析：①。

②。

③。

④。

例2．已知，求m,n。

解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式，∴ x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴ m=3代入求得n=-1。

例3．讨论函数的连续性。

解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的，又

∴

由

从而f(x)在点x=-1处不连续。

∴ f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。，∴ f(x)在x=1处连续。，例4．已知函数

试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。,(a,b为常数)。

解析：∵

且，∴，∴ a=1, b=0。

例5．求下列函数极限

①

②

解析：①。

②。

例6．设

解析：∵

要使存在，只需，问常数k为何值时，有存在？。，∴ 2k=1，故 时，存在。

例7．求函数

在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？

解析：由∵，∴ f(x)在x=-1处极限不存在。，三、训练题：

1．已知，则

2．的值是_______。

3.已知，则=______。

4．已知

5．已知，2a+b=0，求a与b的值。，求a的值。

参考答案：1.3

2.3.4.a=2, b=-45.a=0

幂函数典型例题及答案 第2篇

一．分子动理论：

1:物体是由大量的分子组成.各种公式表达：

规定符号如下：m0：分子质量，V0：分子体积，M:摩尔质量，Vmol：摩尔体积，m：质量，V:体积，ρ密度，NA，阿伏伽德罗常数，N：分子个数，n：物质的的量填空：

M= NA m0, m=n M, Vmol =NA V0, V= n Vmol,，N

注意区别固体液体与气体V0的意义：

对固体液体而言，V0代表固体液体的分子实际体积，所以固体液体分子的直径公式表达为mVm0V0，N= n NA,m=ρV, M=ρVmol 6V0

。对液

体而言，V0代表气体的分子占据空间的体积，不代表气体分子实际体积，所以气体分子间距的公式表达为0

2.分子永不停息地做无规则的热运动，大量液体或气体分子无规则热运动对固体小颗粒的撞击，形成布朗运动。布朗运动与微粒大小和温度两个因素有关。

3：分子间有相互作用力：

填空：①分子间同时存在引力和斥力的作用

②分子间的引力和斥力同时随分子间的距离r的增加而减小，但斥力的变化比引力_快，③当r=r0，f引=f斥,合力为0。当rr0，f引>f斥，合力体现为引力。当r=10r0，力近似为0。

4：气体分子运动的统计规律：

麦克斯韦速率分布图像的规律为：在一定温度下，气体分子速率分布表现出中间高，两头低的分布规律，当温度升高时，分布图像的峰值向速度大的一方移动，而且峰值变小

5．气体的压强是大量气体分子持续作用在容器壁上形成的，气体分子向各个方向运动概率相同，撞击效果相同，所以气体内部压强处处相等

微观上，气体分子运动平均动能越大，宏观上，温度T越高，引起两个效果，1，每次气体分子与容器壁的撞击力越大，2，单位时间单位面积上气体分子撞击的次数越多

微观上，分子密度(分子密集程度，单位体积的分子个数，可以表达成NV)越大，引起的效果为单位时间单位面积上气体分子撞击的次数越多，为了改变分子密度，在N不变的情况下，宏观上改变体积V.可以发现，气体压强P宏观上与温度T与体积V有关，6．单个分子热运动的动能，我们不关心。大量分子动能的平均值，叫做平均动能。A,B两种物质，分子平均动能相等，若分子质量m0A>m0B，则分子热运动平均速率vA

7．分子势能是分子间相对位置决定的势能。微观上，rr0，当r增大时，分子势能增大。当r=10r0时，人为地设定分子势能为0。

宏观上，分子势能与物体的体积有关。但是分子势能并非随体积增大单调变化。（不能说体积是分子势能的标志）

当一个分子从远处（10r0）向一个固定分子靠近的过程中，随着距离减小，r>r0，分子力为引力，做正功，分子势能减小，分子动能增加。当r=r0，分子力等于0，分子势能最小，分子动能最大。当r

8.内能：物体中所有分子热运动动能与分子势能的总和。内能是宏观量，所以没有分子内能的说法。宏观上，物体含有的分子数目与物体的物质的量或质量有关，分子热运动的平均动能与温度有关，分子势能与体积有关。所以物体的内能与三者有关。

但是即便两种物质质量，温度，体积都相等，内能也不一定相等，原因在于两者分子质量不一定相等，分子数目就不一定相等。

改变内能的方式有做功和_热传递。效果上，两者是等效的。但是本质不同，做功是其他形式的能与内能的转化，热传递是内能在物体间或物体不同部分的转移。

热传递的方向是从高温到低温，而与两个物体内能的多少无关。

内能与机械能毫无关系。内能是物体内部热运动的能量，机械能是物体机械运动的能量。一定条件下，可以相互转化。

热胀冷缩现象中，温度发生了变化。若温度升高，体积增大，分子平均动能增加，分子势能增加。

物态变化中，如果晶体熔化，固液并存状态，温度不变，是吸热过程，分子平均动能不变，分子势能增加，内能增加。

如果晶体凝固，固液并存状态，温度不变，是放热过程，分子平均动能不变，分子势能减少，内能减少。

二．固体液体气体

9．固体内部微粒在分子间作用力作用下，在平衡位置附近做微小振动。固体可分为晶体与非晶体。晶体又分为单晶体和多晶体。

晶体内部微粒结合方式有三种，通过离子键结合的是离子晶体，通过共价键结合的是原子晶体，通过金属键结合的是金属晶体。因此单晶体与多晶体具有固定熔点。

单晶体内部微粒排列有规律，宏观上表现有各向异性，具有规则的几何外形。

多晶体内部有许多晶粒，每个晶粒内部微粒排列是有规律的，体现各向异性，但是晶粒排列是杂乱的，所以相互抵消，多晶体宏观上表现各向同性，不具有规则的几何外形。

非晶体内部微粒排列是杂乱的，宏观上表现有各向同性，不具有规则的几何外形。玻璃可以磨出规则外形，但是不是晶体。

单晶体，多晶体，非晶体不是绝对的，一定条件下可以相互转化。食盐（无机物），明矾（无机物），糖（有机物），味精（有机物），雪花，水晶（主要成份二氧化硅），石英（主要成份二氧化硅），云母（金属矿石）是晶体。固态金属金，银，铜，铁都是晶体。蜂蜡，松香，沥青，橡胶，玻璃（主要成份二氧化硅）都是非晶体。

10．液体和气体的接触表面叫做表面层,表面层分子分布比液体内部密集。表面层分子间是分子引力，宏观上表现为表面张力。

表面张力的方向与表面层相切，使得液体表面有收缩的趋势。液体表面像一张绷紧的弹性膜，可以对小物体（昆虫，硬币）提供支持力（这个力不是浮力）。表面张力也使得液滴表面呈球形。由于重力影响，呈椭球体，液滴越小，越接近球体。

可以在液体表面滴入酒精，洗衣粉以减小表面张力。

表面层分子与液体内部分子比较有较大的势能。

液体与固体接触表面叫做附着层，附着层中的液体分子受液体内部的吸引力叫做内聚力，受固体分子的吸引力叫附着力。

如果内聚力大于附着力，附着层分子比内部稀疏，分子间体现引力，使附着层有收缩的趋势，形成不浸润现象。

如果内聚力小于附着力，附着层分子比内部密集，分子间体现斥力，使附着层有扩张的趋势，形成浸润现象。

浸润与不浸润现象取决于两者的性质。同一种液体，对一些固体是浸润的，对另一些固体是不浸润的。浸润液体与毛细管内壁接触时，附着层液体沿管壁上升，造成表面层呈凹形。表面张力对液体产生提拉作用，直到与升高的液柱重力达到平衡。

不浸润液体与毛细管内壁接触时，附着层液体沿管壁下降，造成表面层呈凸形。表面张力对液体产生向下的作用。

毛细管越细，毛细现象越明显。

11．液晶既具有晶体的各向异性，也具有液体的流动性和连续性。按分子排列情况可以分成向列，近晶，胆甾三种类型。

外加电压控制向列型液晶的分子排列，改变光线强弱，可以制造液晶显示器。胆甾型液晶在温度改变时会改变颜色，可以用以测温度。

12.理想气体状态方程为PV=nRT

在温度不太低，压强不太大情况下，实际气体氢气，氧气，都可以近似视为理想气体。

气体的三个状态量为压强，体积，温度，通过控制变量法，控制一个量不变，研究另外两个量的关系。一定质量的气体，温度不变，压强与体积成反比，叫做玻意耳定律。记作p1V1=p2V2。一定质量的气体，体积不变，压强与温度成正比，叫做查理定律。记作p1

T1=p2T2。一定质量的气体，压强不变，体积与温度成正比比。记作V1V2=T1T2。此处温度为热力学温度T，它与摄氏温度t的关系为T=t+273。

13．气体定律的图像研究：在下图中，不同的等温线T1V2,不同的等压线P1>P2(图略)

14．初中阶段，液体压强可表述为：“液体内部向各个方向都有压强，压强随液体深度的增加而增大，在同一深度产生的压强大小与液体的密度有关，密度越大，液体的压强越大。”液压的公式为P=ρgh

连通器原理：同一种液体(中间液体不间断)，的同一水面上的压强是相等的.如图所示,封闭气体的压强pc=pd.帕斯卡定律:外界加在密闭的静止液体上的压强,能够大小不变地由液体向各个方向传递.如图所示,两端封闭的U型管,封闭两部分气体压强分别为p1，p2的关系为: p1+ρgh =p2

标准大气压：1atm=760mmHg=76cmHg =1.01×10Pa

15.用固体(如活塞)封闭在静止的容器中的气体的压强计算：（大气压记作p0）

若对活塞进行受力分析,（截面积S）则封闭气体压强p= p0+F/S

如图所示,汽缸质量为M,活塞质量为m截面积为S, 大气压为p0, 气缸光滑，当活塞缓慢上提，刚离开地面时，对汽缸进行受力分析，则封闭气体压强p= p0-Mg/S

三．热力学定律

16.写出热力学第一定律的表达式：⊿U=W+Q.物体从外界吸热，Q取正值，物体向外界放热，Q取负值，外界对物体做功，W取正值，物体对外界做功，W取负值，内能增加，⊿U取正值，内能减少，⊿U取负值。热力学第一定律是能量守恒定律在热现象有关的过程中的表现形式。热力学第一定律又可以表述成第一类永动机是不可能实现的。

17.普通气体内能与质量，温度和体积有关。温度是平均动能的标志，体积与分子势能有关。当设气体的分子势能严格为0，气体即为理想气体。理想气体的内能就是所有分子热运动动能之和。此时，理想气体的内能与体积无关。当理想气体质量一定时，温度越大，内能越大。

气体膨胀，对外做功，气体压缩，外界对气体做功。5

理想气体等温膨胀过程：温度不变，内能不变，体积增大，对外做功，根据⊿U=Q+W.W取负，Q取正。根据玻意耳定律，压强减小。

理想气体绝热膨胀过程：Q=0，体积增大，对外做功，根据⊿U=Q+W.W取负，⊿U取负。内能减少，温度下降，分子平均动能减小，体积增大，分子密度减小，所以压强减小。

18.系统回到原来的状态，同时消除对原来过程对外界的一切影响，则原来的过程叫可逆过程。反之，叫不可逆过程。不可逆过程具有方向性。

热传递具有方向性：热可以自发地从高温物体传递到低温物体，不会自发地从低温物体传递到高温物体，如果引起外界变化，热可以从低温物体传递到高温物体。这就是热力学第二定律克劳修斯表述。实际的应用例子是制冷机。

功热转化的方向性：功可以自发变成热，热不能自发地变成功（机械能可以自发地转化成内能,内能不能自发地转化成机械能），如果引起外界变化，热可以变成功。这就是热力学第二定律开尔文表述。实际的应用例子是热机。

热力学第二定律又可以表示为第二类永动机是不可能制成的。热力学第二定律反应了熵增加原理。注意表述中强调的是“自发”，而非“完全”，热不能自发变成功，但是热可以完全变成功。理想气体等温膨胀的过程，热完全变成功，但是引起外界变化，即系统体积改变了。

19．能量守恒定律与熵增加原理具有同等重要的地位，能量守恒定律强调了总能量不变，而熵增加原理强调了总熵必然增加。熵是用来量度系统无序程度的物理量。熵增加原理的表述：在孤立系统中（指与外界无能量与物质交换的系统），一切不可逆过程必然朝向熵增加的方向进行。（非孤立系统，熵有可能减小）。第二类永动机并不违反能量守恒定律，但是违反熵增加原理。

选择题答案：D2.D3.C4,C5.A6.D7.B8.B9.C10 D11 B12.C

13.B14.B15.A16.D17.D18.B19.B20.B21.B22.A23.A24.A

幂函数典型例题及答案 第3篇

关键词：幂指函数 极限 对数函数 无穷小代换

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）05（c）-0233-02

1 问题的提出

考虑一个连续复利问题，设有一笔存款（本金），年利率为，若一年分为期计息，则每期的利率为，于是年后的本利和为： （1）

若计息的期数，则问题就归结为连续复利问题，则年后的本利和转化为以下函数的极限。

nk （2）

上面函数的极限是高等数学中非常重要的一类极限，常规的处理方法是利用进行求解，但在大部分高等数学教材编写过程中，对的讨论过程比较繁琐，而且有些结果也没有给出严格的数学证明，不利于教师的教学和学生的理解。这里我们简单回顾一下对其处理过程：首先，通过单调有界准则证明了数列极限的存在性，随后就直接给出了，没有给出严格的证明过程；其次，在不严格的基础上，又证明了函数极限。该文针对以上存在的两个问题：（1）极限值等于没有给出严格的证明；（2）的求解比较繁琐。该文对此类极限的求解方法进行了总结，并通过matlab进行数值仿真。由于是一类特殊的幂指函数，下面我们首先讨论一般幂指函数极限的求解问题，然后过渡到特殊的幂指函数的极限问题。

2 幂指函数极限的求解方法

形如的函数称为幂指函数，幂指函数的极限问题在高等数学的教学中经常遇到，下面介绍几种求幂指函数极限时常用到的方法。

2.1 直接代入法

若幂指函数在处是连续的，根据连续函数的定义，可以通过如下方法求极限。

定理1：

。

若不在函数定义域内，或者自变量的变化过程为，这有如下结果。

定理2：若，，则。

其中表示自变量同一变化过程中的极限。

例1：求极限

解：由于在处连续，根据定理1，我们有：

上述极限过程也可以通过matlab中的simulink模块进行数值仿真，程序的模块圖和函数图像分别为图1和图2。

从图2可以看出当时，的无限趋近于是1，这个与我们计算结果是一致的。

2.2 洛必达法则

对于，和型的幂指函数的极限，可以将幂指函数化为对数恒等式的形式，将其转化为型的未定式，再根据函数的具体形式，将其转化为或，使用洛必达法则进行极限的计算。

例2：求

解：

在上面极限求解过程中，除了使用洛必达法则之外，还利用了等价无穷小代换。

当时，的无限趋近于1，这个与我们计算结果是一致的。

2.3 无穷小等价代换方法

无穷小等价代换方法是求函数极限常用的方法，但在大多数教材中，无穷小代换常用于乘积运算，事实上，对某些幂指函数的极限也可以通过无穷小代换方法计算。

定理3：若函数，和满足以下三个条件。

（1），且，，。

（2）。

（3）存在。

则。

例3 求的极限。

解：当时，，，且，满足定理3的条件（1）和（2）；又因为成立，满足条件（3），因此，可以利用定理3进行求解。

当时，无限趋近于1。

3 极限的证明

利用定理2和等价无穷小代换方法，证明

证明：

在上面证明过程中，使用了无穷小代换 ，同时，也可以看出是的一种特殊形式。

可以利用求一类幂指函数的极限，其中可以是一个表达式。

定理4：若，，，且存在，则有下面结果

例4 求的极限

解：

4 结语

幂指函数的极限类型较多，是高等数学教学中的一个重点内容。学生学习起来往往比较困难，该文对幂指函数极限的常规求解方法做了一个概括和总结，并通过matlab软件进行了数值仿真。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同济大学数学系编.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001.

[3]刘小华.关于幂指函数求极限问题[J].高等数学研究，2008，11（5）：5-6.

幂函数典型例题及答案 第4篇

知识点

一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理

例1：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）

A.CD、EF、GH B.AB、EF、GH C.AB、CD、GH

D.AB、CD、EF

勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系，这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。

方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解

决问题等。

例3：一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。

清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”

“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”

“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。

张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”

占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

形。” “勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。”绣亚补充说。

几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算

出来了吗？ 思路分析：

1）题意分析： 本题考查勾股定理的应用

2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答

常通过作辅助线构造直角三角形将它们转化为直角三角形问题等。

解题后的思考：

分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法，可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重

不漏。

知识点

三、勾股定理及其逆定理的正逆混用

例6：（1）图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中

间小正方形的面积。

（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6

块，再拼合成一个正方形。

三角函数典型例题剖析与规律总结 第5篇

山东 田振民

一：函数的定义域问题 1.求函数y分析：要求ysinx122sinx1的定义域。

2sin1的定义域，只需求满足2sinx10的x集合，即只需求出满足的x值集合，由于正弦函数具有周期性，只需先根据问题要求，求出在一个周期上的适合条件的区间，然后两边加上2kkZ即可。

12解：由题意知需2sinx10，也即需sinx①在一周期32,上符合①的角为277,由此可得到函数的定义域为,2k,2k66kZ 66小结:确定三角函数的定义域的依据：（1）正、余弦函数、正切函数的定义域。（2）若函数是分式函数，则分母不能为零。（3）若函数是偶函数，则被开方式不能为负。（4）若函数是形如yloga（5）当函数是有实际fxa0,a1的函数，则其定义域由fx确定。问题确定时，其定义域不仅要使解析式有意义同时还要使实际问题有意义。二．函数值域及最大值，最小值（1）求函数的值域 例。求下列函数的值域

（1）y32sin2x

（2）ycosx22sinx2

分析：利用cosx1与sinx1进行求解。解：（1）1sin2x11y5y1,5（2）

ycos2x2sinx2sin2x2sinx1sinx11sinx1,y4,0.2评注：一般函数的值域求法有：观察法，配方法判别式法，反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质罢了。（2）函数的最大值与最小值。例。求下列函数的最大值与最小值（1）y11sinx

（2）y2sin2xx 2666（3）y2cos2x5sinx4（4）y3cos2x4cosx12 x,33分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解过程要注意自变量的去值范围（3）（4）可利用二次函数f(x)ax2bxc在闭区间m,n上求最值得方法。解(1)

：11sinx062 1sinx1当sinx1时，y;当sinx1时y2maxmin221sinx1(2)1cos(2x)1,当cos2x1时，ymax5；当cos(2x)1时，ymin1.333(3)

59y2cosx5sinx42sinx5sinx22sinx,sinx1,1，48222当sinx1，即x22k(kZ）时，y有最小值9；

当sinx1，即x(4)y3cosx23222k(kZ），y有最大值1。

x4cosx13(cosx154当cosx2312)212,x,333,cosx14111，从而cosx,即222时，、ymax,即x3时，ymin小结：求值域或最大值，最小值的问题，一般的依据是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切实数；（3）连续函数在闭区间上存在最大值和最小值。根据上面的原则，常常把给出的函数变成以下几种形式；

（1）sinx一次形式（2）sinxf(y)或cosxf(y)的形式，通过f(y)1来确定或其他变形来确定。三：函数的周期性

例

求下列函数的周期1f(x)cos2x2f(x)2sin(x26)

分析：该例的两个函数都是复合函数，我们可以通过变量的替换，将它们归结为基本三角函数去处理。

（1）把2x看成是一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2，就是说，当u增加到u2且必须增加到u2时，函数cosu的值重复出现，而u22x22(x),所以当自变量x增加到x且必须增加到x时，函数值重复出现，因此，ysin2x的周期是。

x2（2）2sin(x2)2sin即662xx12sinx42sin()f(x)2sin()的周期是4。

262626小结：由上面的例题我们看到函数周期的变化仅与自变量x的系数有关。一般地，函数yAsin(x)或yAcos(x)（其中A,,为常数，A0,0,xR)的周期T2。

四．函数的奇偶性

例 判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)xsin(x)(2)f(x)1sinxcos1sinx2x

分析：可利用函数奇偶性定义予以判断。解：（1）函数的定义域R关于原点对称。f(x)xsin(x)xsinx,f(x)(x)sin(x)xsinxf(x)f(x)是偶函数。

3,kZ.函数的定义xxR，且x2k2（2函数应满足1sinx0函数的定义于为域不关于原点对称。 函数既不是奇函数又不是偶函数。

评注：判断函数奇偶性时，必须先检查定义域是否关于原点对称的区间，如果是，再验证f(x)是否等于f(x)或f(x)，进而判断函数的奇偶性，如果不是，则该函数必为非奇非偶函数。五：函数的单调性 例：下列函数，在A.,上是增函数的是（）2ycosx

Cysin2x

Dycos2x ysinx

B分析：2x,2x2.可根据sinx与cosx在各象限的单调性作出判断。

ysinx与ycosx在解：排除A,B，x，2x2,，上都是减函数，22知ysin2x在2x,2内不具有单调性，又可排除C，应选D。

小结：求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中A0,0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：(1)把“x(0)"视为一个整体；（2）A0(A0)时，所列不等式的方向式的方向相同（反）。与ysinx(xR),ycosx(xR)的单调区间对应的不等

练习：1.函数yA.RB.1sinx的定义域为（）

C.xRxk,kZ6)，x0,21,00,1D.xx0

2.函数ycos(x的值域是（）3,1212,1 A.31,22B13,22CD3.函数ysin(x4)(0)的周期为

23，则=------------.4.下列函数中是偶函数的是（）

A.ysin2xBysinxCysinxDysinx1

5.下列函数中，奇函数的个数为（）

2（1）yxsinx（2）ysinx,x0,2（3）ysinx,x,（4）yxcosx

A.1.B2C3D4

6.在区间0,上，下列函数为增函数的是（）2A.y1sinxBy1cosxCysinxDycosx

7.函数ysin2x的单调减区间是（）

A32k,2k223Bk,k44Dk4,k42C2k,32k

kZ8.如果x4，则函数4ycos34xsin的最小值是——————

9.函数ytanx(x且x2)的值域为（）

幂函数典型例题及答案 第6篇

一.教学内容：

机械能守恒定律的综合运用

二.学习目标：

1、掌握机械能守恒定律的表达式及应用机械能守恒定律解题的一般方法和步骤。

2、深刻掌握关于机械能守恒定律的习题类型及其相关解法。

三.考点地位：

机械能守恒定律的综合应用问题是高考考查的重点和难点，题目类型通常为计算题目形式，从出题形式上常与牛顿定律、圆周运动、电磁学、热学等问题进行综合，从习题模型化的角度上来看，常与线、轻杆、弹簧等模型综合，题目灵活性很强，在高考当中常做为压轴题形式出现，2007年天津理综卷第5题，2006年全国Ⅱ卷理综卷第23题、2006年广东大综合卷第34题、2006年北京理综卷第22题、2005年北京理综卷的第23题均通过大型计算题目形式考查。

知识体系：

（一）机械能守恒定律的表达式：

当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种： ①②△量。③△，即A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量。=－或△，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。，即动能（或势能）的增加量等于势能（或动能）的减少

（二）应用机械能守恒定律解题的步骤及方法：

（1）根据题意选取研究对象（物体或系统）。

（2）明确研究对象的运动过程，分析对象在运动过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒。

（3）恰当地选取零势面，确定研究对象在运动过程中的始态和末态的机械能。（4）根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果。说明：

（1）机械能守恒定律只关心运动的初、末状态，而不必考虑这两个状态之间变化过程的细节，因此，如果能恰当地选择研究对象和初、末状态，巧妙地选定势能参考平面，问题就能得到简捷、便利的解决，可避免直接应用牛顿定律可能遇到的困难，机械能守恒定律为解决力学问题提供了一条简捷的途径。

（2）如果物体运动由几个不同的物理过程组成，则应分析每个过程机械能是否守恒，还要分析过程的连接点有无能量损失，只有无机械能损失才能对整体列机械能守恒式，否则只能列出每段相应的守恒关系。

【典型例题】

问题

1、单一物体的机械能守恒问题：（2005年北京卷）例1.是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：

（1）小球运动到B点时的动能；

（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；

（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。解析：（1）小球从A滑到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则。

（2）由机械能守恒

有。

小球速度大小为，速度方向沿圆弧在该点的切线方向向下，如图所示，即图中角。

。由几何关系知，速度方向与竖直方向的夹角为（3）由机械能守恒得①

由牛顿第二定律得由①②式解得。

②

小球运动到C点，在竖直方向上受力平衡，答案：（1）。（2），与竖直方向夹角

。（3）

；mg。

变式、（2007·南昌调考）如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：

（1）小球落地点到O点的水平距离；

（2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？ 解析：（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度根据机械能守恒定律得

设水平距离为s，根据平抛运动规律可得。

（2）因H为定值，则当时，即时，s最大，最大水平距离。

问题

2、双物体的机械能守恒问题：

例2.如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？

解析：释放后，系统加速运动，当A着地时B恰好达水平直径的左端，此时A、B速度均为，这一过程系统机械能守恒，此后B物体竖直上抛，求出最高点后即可得出结果，下面用机械能守恒定律的三种表达式来求解。（1）用由

求解。

有，得，B以竖直上抛，则上抛最大高度，故B上升的最大高度为。

（2）用△求解。

对A、B系统，△，△，由△有，得。

同理可得（3）用△。

求解。

对A物体：△，对B物体：△。

由△有，则。

同理可得。

答案：变式

1、。

（2007·江苏南京）如图所示，A物体用板托着，位于离地面滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量

处，轻质细绳通过光，B物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取）

解析：在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得

解得代入数据有

A着地后，B做竖直上抛运动，竖直上抛能上升的高度为

代入数据有

B物体上升过程中离地面的最大高度为。

答案：

变式

2、一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为套在光滑竖直杆上的物体AB连接为水平位置开始下滑

角的光滑斜面上的物体

连接，另一端和

由静止从）求：。

连接，设定滑轮到竖直杆距离时，和，又知物体

受力恰平衡，如上图所示，（（1）（2）下滑过程中的最大速度； 沿竖直杆能够向下滑的最大距离。、与地组成的系统的机械能守恒，物体

由静止开始先做加速度不断减受力平衡，随后，向下做加解析：（1）小的加速运动，当加速度减小到0时，速度最大，此时速度不断增大的减速运动，速度为0时势能面，设的最大速度为，对

下滑到最大距离，选取AB水平面为重力势能零从B到C过程，设开始时斜面上绳长为，至C时斜面上绳长为①

设∠ACB=，则，由机械能守恒定律：，则又再根据、，②

。③

此时受力平衡，可知绳子拉力：，∴，④

将②、③、④代入①式，整理得：。

（2）设恒定律：，又，沿竖直杆能够向下滑的最大距离为H，设此时斜面上绳长为，则由机械能守代入上式解得。

问题

3、机械能守恒与圆周运动的综合问题：

例3.把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？

解析：小球摆动过程中受重力和细线的拉力作用，细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。

小球在最高点作为初状态，如果把最低点的重力势能定为0，在最高点的重力势能就是，而动能为零，即小球在最低点作为末状态，势能

。，而动能可以表示为。

运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即。

把各个状态下动能、势能的表达式代入，得，由此解出。

越小，就越大，v也就越大，从得到的表达式可以看出，初状态的角越大，也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最下端时的速度也就越大，这与生活经验是一致的。答案：。

变式

1、（2005·沙市）如图所示，用一根长为L的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A，在O点的正下方钉一钉子B，当质量为m的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B，小球开始以B为圆心做圆周运动，恰能过B点正上方C，求OB的距离。

解析：小球在整个运动过程中，仅受到重力和绳的拉力，而拉力对它不做功，所以在整个运动过程中机械能守恒，小球从释放位置运动到C点的过程中机械能守恒，以过C的水平面为零势能面，设小球在C点的速度为

则有：

而

所以

小球在竖直平面内以B为圆心做圆周运动，而且恰能经过C点，即在C点仅由重力提供向心力，所以：

由以上各式可得：

变式

2、，则

（2005年广东）如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与

在粗糙的水平地面相切于圆环的端点A，一质量m=0.10kg的小球，以初速度水平地面上向左做加速度的匀减速直线运动，运动）

后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C间的距离（解析：匀减速运动过程中，有。

恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：，得。

假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒有，解得因为

。，所以小球能通过最高点B。

小球从B点做平抛运动，有，解得。，答案：1.2m。

变式

3、（2006年全国II）如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径，轨道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s。取重力加速度。

解析：设小物块的质量为m，过A处时的速度为v，由A到D经历的时间为t，有

。①

。②。③

由①②③式并代入数据得

。答案：1m。

【模拟试题】

1、如图所示，某人站在阳台上，以的速度把质量为m的小球斜向上抛出，不计空气的阻力，则小球到达空中的B点时的动能为

A.B.C.D.2、将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是

A.C.，B.D.，3、如图所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中，然后，将弹簧压缩至最短，现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的

A.机械能守恒 B.机械能不守恒

C.产生的热能等于子弹动能的减少量

D.弹簧压缩至最短时，动能全部转化成热能

4、一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，那么如图中，表示物体的动能随高度h变化的图象A，物体的重力势能度h变化的图象C，物体的动能

随速度v变化的图象B，物体的机械能E随高

随速度v的变化图象D，可能正确的是

5、以相同大小的初速度

将物体从同一水平面分别竖直上抛和斜上抛，沿光滑的足够长、、，空气阻力不计，的固定斜面的表面上滑，如图所示，三次达到的高度分别为则下列判断正确的是

A.C.B.D.6、某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（g取 A.B.C.）

D.7、如图所示，将一根长的金属链条拉直放在倾角的光滑斜面上，链条下端与斜面下边缘相齐，由静止释放后，当链条刚好全部脱离斜面时，其速度大小为______。（g取）

8、小钢球质量为m，沿光滑的轨道由静止滑下，轨道形状如图所示，与光滑轨道相接的圆形轨道的半径为R，要使小球沿光滑圆轨道恰能通过最高点，物体应从离轨道最低点多高的地方开始滑下？

9、细绳的一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球绕细绳的固定点在竖直平面内做圆周运动，绳在最高点和在最低点的拉力差为多大？

10、如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两边分别与A、B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物体A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大距离H。

【试题答案】

1.B（选B点所在平面为零势能面，则小球在B点只有动能，而在A点处机械能为，由机械能守恒可知，故选项B正确。）

2.C（上升和下降两过程，小球通过的位移大小相等，由受力分析知小球上升过程的加速度大于下降过程的加速度，小球上升的时间应小于下降的时间；小球运动过程中损失的机械能等于克服空气阻力做的功，因为空气阻力大小不变，上升、下降两过程的位移大小相等，所以上、下过程损失的机械能相等。）

3.B（子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中这一过程中，摩擦力对M做的功（M位移小）小于子弹克服摩擦力做的功，机械能减少，机械能不守恒，子弹减少的动能一部分转化为热能，另一部分转化成M的动能和弹簧的势能，然后，将弹簧压缩至最短这一过程中只有系统内弹力做功，机械能守恒，但全过程机械能不守恒，从子弹射向木块直至弹簧被压缩至最短，动能一部分转化成热能，另一部分转化成势能。应选B。）

4.A、B、C、D（以一定初速度竖直上抛的物体，不计空气阻力，机械能守恒，因此C选项正确，由机械能守恒定律可得，所以A选项正确，由公式可知B选项正确，又因为，所以D选项正确。）

5.D（由于在三种情况下，均只有重力对物体做功，因此物体的机械能守恒，竖直上抛运动，物体在最高点时的速度为零，选取抛出点为零势能参考面，则物体在初状态的机械能为，末状态的机械能为，由机械能守恒定律，可得，∴。对于斜上抛运动，物体到达最高点时速度不为零，设为，则由机械能守恒定律可得，∴，∴，对于沿光滑斜面向上滑动的物体，到达最高点时物体的速度为零，因此有，∴，故答案应选D。），根 6.B（设该同学的重心在其身体的中点上，把他看成质点，他上升的最大高度是据机械能守恒，近。），即，所以最接 7.（取水平面为参考平面，根据机械能守恒定律有。），解得 8.。（刚释放时，小球的机械能为。

到达圆轨道的最高点时机械能为。

根据机械能守恒定律：。

要使小球刚好沿圆轨道通过最高点，应有，解得 9.。）

。（在最高点，设此时小球的速度为，绳子拉力为，由向心力公式可得，∴。①

小球在做圆周运动时，从最高点向最低点运动过程中机械能守恒，设绳子长度为L，最低点时速度为，则由机械能守恒定律△

可得

。②

小球在最低点时，设绳的拉力为，则有，∴。③ 由①②③式，且 10.可得。）

（设物体A沿斜面向下滑动s时速度为v，则由机械能守恒定律可得：

s，即为。①

细线断开瞬间，物块B上升的速度为，此后B做竖直上抛运动，设上升的距离为h，则有。②

物体B上升的最大高度由①②③式，可解出）

典型例题分析有答案 第7篇

班主任林老师看出了他的问题，与他做了一次长谈。在老师的帮助下，张小雨重新调整了心理状态，及时改进学习方法，积极参加各项集体活动，主动与老师、家长交流学习和生活。他变得开朗了、快乐了，学习也有了很大进步。

(1)、你怎样看待张小雨同学的变化?（２分）

(2)、张小雨的经历告诉我们该如何更好的适应中学新环境？（４分）

（1）面对一个新的环境，我们往往会感到种种不适应，我们应该自觉调整个人和环境的关系，积极利用环境，促进个人健康发展。

（2）尽快适应新环境，不仅需要迎接挑战的勇气，还要求每个人在生活方式和思维方式上做出相应的调整。①做好角色转换②做好心理上的调整③主动调整生活节奏。

2、相传田忌在与齐王赛马时采用了孙膑的策略：用自己的下等马与齐王的上等马比，用自己的中等马与齐王的下等马比，用自己的上等马与齐王的中等马比，最终取得了赛马的胜利。

这个故事对我们正确认识和评价自己有何启示？

分析：要求学生先注意问题的关键词是正确认识和评价自己，所以锁定第二课第一框《正确地认识和评价自己》，材料主要讲的是田忌赛马充分地认识到了自己马匹的优缺，扬长避短，知道自己长处、优点，也知道自己短处缺点。答：书本p14认识评价自己的心态和感觉

3、“世界上最名贵的衣服，不是珍珠服，也不是羽衣霓裳，惭愧知耻是最美的服装”，请谈谈你对这句话的认识。

分析：指导学生重点注意最后半句，最美的衣服的是惭愧知耻，这半句强调的是羞耻心的重要作用。

答：书本p24羞耻心对跟人成长的重要作用？羞耻心对社会的重要作用？羞耻心对民族的重要作用？

4、材料一小明在班级中学习成绩不理想，他看到同学买了一双名牌运动鞋非

常羡慕。小明的父母收入不高，经济条件有限，他就向同学借钱也买了一双。许多同学都投来羡慕的眼光，小明觉得很有面子，有了自尊。

材料二“人不可有傲气，但不可无傲骨。”

请回答

（1）材料一中小明的做法是为自己赢得了自尊吗？为什么？

分析：要求学生区分自尊与虚荣的区别，自尊是对自己负责，追求的是踏实，虚荣是为自己化妆，追求的是表面的荣耀，所以此题中的小明是虚荣，不是自尊。答：不是，是一种虚荣的心理。

（2）如何理解材料二中的“傲气”和“傲骨”？

分析：此题要求学生区分自尊与自傲，两者有着本质的区别。傲气不能有，傲骨则不能无

答：“傲气”指的是自傲，“傲骨”指的是自尊。自尊与自傲不同。自尊的人没有傲气，但有正气；自傲的人自视清高，目中无人。

5、某顾客购买家用电器后因使用不当造成电器损坏，要求商店退赔。在商场营业员不同意退赔的情况下，顾客对营业员进行了辱骂，并动手打了营业员一个耳光。结合这一案例，谈谈你对“顾客永远是上帝”这一经营理念的看法。

分析：“顾客是上帝”体现的是对顾客的礼遇，是一种服务的心态。所以消费者受到尊重是应该的。但是尊重礼貌是相互的，顾客不能违背与经营者相互平等、相互尊重的原则。

答：p37如何理解“顾客是上帝”

6、七年级学生小刘平时学习不认真，经常投机取巧、弄虚作假，课后抄袭作业，请人代做作业，考试作弊。

(1)联系所学知识，请你谈谈小刘同学缺乏什么观念？

（2）培养这种心理对我们有哪些帮助？

答：羞耻心

P24羞耻心对个人成长的作用

羞耻心对社会的作用

羞耻心对民族的作用

7、小泽征尔是世界著名的音乐指挥家，一次他去欧洲参加指挥大赛，决赛时，评委交给他一张乐谱，小泽征尔稍做准备便全神贯注地指挥起来。突然，、他发现乐曲中出现了一点不和谐，开始他以为是演奏错了，就指挥乐队停下来重奏，但仍觉得不自然，他感到是乐谱有问题。可是，在场的几百名国际音乐界权威人士都声明乐谱不会出错，但是他考虑再三，坚信自己的判断，“不！一定是乐谱错了！”他的声音刚落，评判席上的评委们立即站起来，向他报以热烈的掌声，祝贺他大赛夺魁。

(1)请根据材料说说小泽征尔取得成功最重要的一点是什么？

(2)小泽征尔的故事对你有何启示呢？

（3）要获得成功除了自信还需要哪些条件？

（1）自信

（2）为什么要增强自信（p16-17)

要获得成功，除了自信还需要哪些条件(P20)

8、初一学生吕阳在上个学期的期末考试中成绩很不理想，他感到很没有面子，在同学中抬不起头来。新学期开始后，吕阳就开始发愤苦读，每天都要学习到深夜。父母看在眼里又喜又忧，担心吕阳身体受不了。由此引发出父子间的一段对话。父亲：“学习要努力，身体也要注意。”吕阳：“没问题，只要能在这学期期末考试中考出好成绩，得到同学们的尊重，我苦一点也没什么?”

阅读材料，结合所学知识回答：

(1)、你认为得到别人尊重的奥秘是什么呢？（2分）

(2)、对于同学中成绩智力的高下，你觉得应怎样正确看待?（4分）

(3)、只有彼此尊重，大家才能心情舒畅，从而更好地学习和工作。同学间相处，要怎样做才体现出相互尊重?请举出两例说明。（6分）

（1）只有尊重他人，才能得到别人对自己的尊重，这就是受人尊重的奥秘。

（2）影响智力的因素是多方面的，既有先天的遗传因素，也有后天的环境因素、实践因素。一个智力平平的人，经过自己的努力，同样能取得一定的成绩。即使智力低下的人，也不是一无是处，在他们身上也有许多闪光点。所以，我们绝不能根据同学中智力高下而另眼看人，不尊重他人。

（3）同学间不因存在的某些差异而疏远，要互相取长补短，礼貌相待；不相互取外号，不凌弱欺生等

9、中学生李某到照相馆照相，事后发现自己的相片被老板挂在外面做宣传，李某找到老板，老板说：“我这是为你做免费宣传，还没问你要钱呢？”李某十分气愤。阅读上述案例，回答下列问题。

（1）这里李某的什么权利被侵犯了？（2分）

（2）如果是你的话，碰到这样的事，你会怎么做？（2分）并请你说出这样做的法律依据。（2分）

（1）肖像权或人格尊严权。（2分）

（2）依照有关法律规定，侵犯人格尊严权的，受害人要依法维权，有权要求侵权人或请求人民法院责令停止侵害、恢复名誉、消除影响、赔礼道歉，并可以要

求精神损害赔偿。（2分）

《宪法》规定：中华人民共和国公民的人格尊严不受侵犯。禁止用任何方法对公民进行侮辱、诽谤和诬告陷害。（2公）

10、2009年12月12日中午，72岁的曹纯武老人散步时不慎跌倒，出租车司机马艳东下车扶起了曹纯武并开车把他送回家。在一些人看来可能会惹上麻烦的事，马艳东却坚持要做。听到了曹纯武老人家里人的表扬后，马艳东说：“这点小事不算啥，能帮助别人我也很快乐。”

帮助人未必能得到他人的回报，但为什么马艳东司机还要说帮助人是快乐的？

帮助别人的目的不是为了得到别人的回报（2分）。帮助别人解决所遇到的问题，使别人因为我们的帮助而生活得更加快乐和幸福，我们就会得到心灵的净化、精神的满足和道德的升华，我们的人生就更有价值，更有意义（5分），社会就会更加祥和（2分）。所以马艳东司机会说帮助别人是快乐的。

11、材料一：“人有廉耻，百事可立；人无廉耻，百事可为；人之有所不为，皆赖有耻之心，若无耻心，则无事不可为也。”

材料二：在前进的道路上，我们搬开别人脚下的绊脚石，有时恰恰是为自己铺路。

材料三：在我国，没有特殊的公民，也没有特殊的权利。任何人不论职位高低，功劳大小，只要违背法律，就要承担法律责任。

(1)结合教材知识回答，从以上三则材料中你可以分别得出什么观点？（请用三句简短的话语表达出来）(3分)

材料一：做人从知耻开始（或：人要有羞耻之心）(1分)

材料二：授人玫瑰，手留余香（或：帮助别人就是帮助自己）(1分)

材料三：公民在法律面前一律平等（或人与人之间是平等的）（1分）

12、2010年10月16日晚，一名男子在河北大学校内驾车高速行驶，将两名正在轮滑的女生撞飞，造成一死一伤的校园惨剧。令人义愤的是，该男子肇事后，没有停车救助而是继续前行，返回途中被学生和保安拦下。在被拦截后，该男子还态度嚣张，口出狂言：“有本事你们告去，我爸是李刚”。

10月23日，河北保定市警方发布案情通报，称肇事者李启铭系醉酒驾驶，李启铭已被刑事拘留。警方表示：法律面前人人平等，不管是谁，只要触犯法律，就将依法严肃处理。

请运用所学知识回答下列问题：

（1）材料中的李启铭醉酒肇事，完全不尊重别人的生命，最终必将受到法律的严惩。你知道尊重别人的前提是什么吗？（2分）

如果你在现场，你会对李启铭说什么？（4分）

（2）据证实，李刚为保定市某区公安局副局长。保定警方表示法律面前人人平等，谈谈你对“公民在法律面前一律平等”的理解。（9分）

（1）认识人与人之间是平等的，这是做到尊重别人的前提。（2分）

我会对他说要（从道德和法律两个方面，给分）（4分）